绩效评估系列之三：波动率

把波动率讲透不是一件容易的事，这涉及到现代金融的发展历史和金融数学理论。所幸的是，本篇文章为介绍性质，主要为读者讲述波动率的简要由来、种类，以及基于Python的计算实例。

现在，学过金融工程的同学都很容易理解波动率作为衡量金融资产价格不确定性的指标之一，但仅仅在70年前，这一概念和方法还不为大家所熟悉。

直到1952年3月，美国的经济学家哈里·马科维兹（Harry Markowitz）在《The Journal of Finance》期刊上发表了一篇名为《Portfolio Selection》的论文（实际上是他博士论文的浓缩版）。这篇论文首次在数学上论证了用资产收益率的方差来描述风险的有效性，并基于此提出了“有效前沿”理论，创立了基于均值-方差的资产配置模型，从而标志着现代投资组合理论的开端。

将波动率用以描述资产的风险大小之后，我们就可以研究和实践基于波动率的各种各样的应用。比如，资产配置模型、经风险调整的绩效评估指标、期权衍生品定价等等。

本文则主要介绍波动率的基本概念，以及分类。

一、基本概念

现在，我们并不难理解波动率这一概念。从经济学角度来看，波动率用于描述资产价格变动的不确定性，是衡量标的资产价格变化的剧烈程度。比如，假设某只股票的历史平均日收益率为0.2%，日波动率为1%，那么根据正态分布假设，该股票的下一日日收益率将有68%的可能在-0.8%和1.2%之间。

从数学形式上来看，波动率就是一组时间序列数据的标准差。在《绩效评估系列之一：简单收益率与对数收益率》文章中，我们提到，对数收益率假设资产价格是连续变动的，更常用于金融工程建模。因此，在计算波动率时，我们通常使用资产的对数收益率序列。

二、波动率分类

波动率的种类包括历史波动率、预测波动率和隐含波动率。

• 历史波动率

历史波动率（Historical Volatility）是指资产在过去一段时间内价格的波动程度，通过计算标的资产在过去一段时间内日收益率的标准差再进行年化后得到。

假设某项资产的日对数收益率序列为{ri}，那么其标准差公式为：

通过上述公式便可计算出该资产在T时间段内的日波动率，我们对其进行年化就可得到年化波动率，年化的方式为

上面是通过日波动率计算年化波动率的方式，如果我们的收益率序列是按周的，那么年化时应乘以；如果为月波动率，那么年化时应乘以

对于产品来说，我们应通过复权后的单位净值计算其日对数收益率，然后再利用上述公式计算波动率。

• 预测波动率

预测波动率（Predicted Volatility）是指投资者根据市场情况和历史数据对资产价格未来的波动情况所做的预测。通常，预测模型包括GARCH、ARIMA等统计学模型或机器学习模型。

有了预测出来的波动率，我们就可以预测资产未来一段时间的风险情况，还可以计算期权的价格。

• 隐含波动率

隐含波动率（Implied Volatility）主要应用于期权的分析中。它是根据期权的市场价格反推出来的，是市场上被交易的期权价格所隐含的内在波动率。

我们都知道，根据BSM模型，如果知道了标的资产期初价格、标的资产波动率、无风险利率、股息率、期权执行价格，以及期权到期日，就可以算出期权的价格。但标的资产的实际波动率在期权未到期之前都是未知的，因此只能通过历史波动率来进行预测。

假设市场是有效的，那么期权的价格就可以在市场中直接获得，因此我们可以根据除波动率之外的其他五个参数，结合期权的价格公式反推出标的资产的波动率，这就是隐含波动率。

隐含波动率反映了投资者对标的资产未来波动情况的预期。计算方式通常采用试错法、二分法、牛顿法等算法求解。

三、Python实现

由于波动率建模和预测、隐含波动率的计算都比较复杂，我们将在后面的文章中更具体地介绍原理和实现方法。本篇文章主要展示历史波动率的计算示例，计算周期均为日，即通过计算一段区间内的日波动率再进行年化得到这段区间的年化波动率。