在评价组合或产品在一段时间内的投资收益或风险情况时，存在各种各样的指标，如年化收益率、波动率、夏普比率、最大回撤等等，但收益率是所有这些指标的基础。本系列文章将分别介绍这些评价指标的含义、计算方法，以及基于Python语言的实现。
作为系列文章的第一篇，本文将从最基础的两种收益率计算方式说起，包括简单收益率和对数收益率。
一、简单收益率
简单收益率（Simple Return），又称为算术收益率（Arithmetic Return），包括单期简单收益率和多期简单收益率。
- 单期简单收益率
假设投资者在0时刻购买一项资产，价格为P0，此后每隔一段时间（每天、每周、每月、每年或者是周期不同的时间段）记录该资产的价格，分别为P1、P2…等等。资产价格序列如下图所示：
假设在[t-1, t]时间段内该资产无分红，则该时间段内的单期简单收益率为：
- 多期简单收益率
单期简单收益率推而广之就成了多期简单收益率。显而易见，[t-k, t]时间段的多期简单收益率为：
可以看到，多期简单收益率可以分解为单期简单收益率的乘积形式。
二、对数收益率
对数收益率（Log Return），又称为几何收益率（Geometric Return），是连续复利下的收益率，它假设将投资期限划分为无限时间段，前一时间段的本金和利息之和作为下一时间段的初始本金，如此连续。对数收益率同样包括单期对数收益率和多期对数收益率。
- 单期对数收益率
同样以上面的例子为例，假设r为[t-1, t]时间段内的利率，m代表该时间段内复利的次数，则有：
其中，
代表小期内的收益率。
当m趋向于无穷大时（也即投资一旦发生，则在瞬间产生复利利息，并持续进行下去），两边取极限则可得到：
因此，有：
- 多期对数收益率
多期对数收益率的计算公式如下：
可以看到，多期对数收益率可以分解为单期对数收益率的连和形式。
三、对比及关系
为什么在金融领域中，我们经常使用对数收益率，而不是简单收益率？
这是因为对数收益率具有可加性，即多期收益率为单期收益率之和，而简单收益率则不具备这个性质。比如，若投资者初始投入1万元，第一年和第二年年化回报率均为10%，则两年的总回报并非20%，而是(1+10%)*(1+10%)-1=21%；同样，若第一年年化回报率为10%，第二年年化回报率为-10%，则两年的总回报也并非0，而是(1+10%)*(1-10%)-1=-1%。而对数收益率则不存在这个问题，直接相加即可。
此外，对数收益率的分布更接近于正态分布，对于金融统计分析和建模带来了诸多方便。
那么，简单收益率与对数收益率之间的关系是什么呢？
假设通过单利和复利投资得到的收益相同，则有：
上述公式即是简单收益率与对数收益率之间的关系。
四、Python实现
为了便于演示，我们下载了沪深300指数的近十年收盘价（从2012-01-04到2022-07-01），并使用前述方法计算简单收益率和对数收益率。
首先，我们导入数据。
接着，我们计算简单收益率。
同样，我们可以计算对数收益率。
最后，我们绘制两种收益率的分布图，观察他们的差异。
直观上可以看出，对数收益率的分布图更接近正态分布。
根据前述公式，我们可以通过单期简单收益率及对数收益率计算沪深300指数在该时间段内的累计收益率，结果如下：
可以看到，以上三种方法计算结果一致。
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